atomscf.operator.solve_bound_states_transformed
- atomscf.operator.solve_bound_states_transformed(r, l, v_of_r, delta, Rp, k=4, use_sparse=True)[源代码]
使用变量变换方法求解径向束缚态（适用于指数网格）。
方法基于文献 [1]_：
- 网格：
\(r(j) = R_p(\exp(j\delta) - 1) + r_{\min}, \quad j=0,1,\ldots,j_{\max}\)
- 变量变换：
\(u(j) = v(j) \exp(j\delta/2)\)
- 变换后的方程（没有一阶导数项）：
\(v''(j) - \frac{\delta^2}{4}v(j) = 2R_p^2\delta^2 \exp(2j\delta)(E - V_{\text{eff}}(r(j)))v(j)\)
- 有限差分离散：
\(v(j+1) - 2v(j) + v(j-1) - \frac{\delta^2}{4}v(j) = 2R_p^2\delta^2 \exp(2j\delta)(E - V_{\text{eff}}(j))v(j)\)
- 广义特征值问题：
\(H v = E B v\)
- 其中：
\(H[i,i] = 2 + \frac{\delta^2}{4} + \text{exp\_factor} \cdot V_{\text{eff}}(i+1)\)
\(H[i,i\pm1] = -1\)
\(B[i,i] = 2\delta^2 R_p^2 \exp(2\delta(i+1))\)
关键处理：去掉 j=0 点避免奇异性（参考 [1]_ 第54行）
- 参数:
r (numpy.ndarray) -- 指数网格，由 radial_grid_exp_transformed 生成，满足 r[j] = Rp*(exp(j*delta)-1) + rmin。
l (int) -- 角动量量子数。
v_of_r (numpy.ndarray) -- 势能数组（包含核势能），长度与 r 一致。
delta (float) -- 网格参数 δ（从 radial_grid_exp_transformed 返回）。
Rp (float) -- 网格参数 R_p（从 radial_grid_exp_transformed 返回）。
k (int, optional) -- 返回最低能的本征态个数（默认 4）。
use_sparse (bool, optional) -- 是否使用稀疏矩阵求解器（默认 True，适用于大型矩阵）。
- 返回类型:
- 返回:
eps (numpy.ndarray) -- 低端 k 个本征值（按升序）。
U (numpy.ndarray) -- 对应的径向波函数矩阵，形状 (k, N)，已归一化。
备注
去掉 j=0 点后，实际求解的网格索引为 j=1,2,...,j_max
v[0] 在边界条件下为 0（不参与求解）
求解后变换回 u = v * exp(j*delta/2) 并归一化
引用
[ExpGridTransform]指数网格变量变换方法 来源：Computational Physics Fall 2024, Assignment 7, Problem 2 https://github.com/bud-primordium/Computational-Physics-Fall-2024/tree/main/Assignment_7/Problem_2 problem_2.tex 第155-235行（矩阵元推导）