KB 转换模块 (kb)

概述

将半局域势 \(\{V_l(r)\}\) 转换为 Kleinman-Bylander 可分离形式：

\[V_{\text{NL}} = \sum_l |\beta_l\rangle D_l \langle\beta_l|\]

其中 \(\beta_l(r)\) 是投影子，\(D_l\) 是耦合系数。

对于非局域通道 \(l \neq l^*\)，构造未归一化投影子：

\[\chi_l(r) = [V_l(r) - V_{\text{loc}}(r)] \cdot \phi_l(r)\]

其中：

投影子归一化为 \(\langle\beta_l|\beta_l\rangle = 1\)：

\[\beta_l(r) = \frac{\chi_l(r)}{\sqrt{\langle\chi_l|\chi_l\rangle}}\]

标准 KB 形式的耦合系数为：

\[D_l^{\text{std}} = \frac{1}{\langle\phi_l|\Delta V|\phi_l\rangle}\]

其中 \(\Delta V = V_l - V_{\text{loc}}\)。

本实现采用归一化投影子，因此耦合系数调整为：

\[D_l = \frac{\langle\chi_l|\chi_l\rangle}{\langle\phi_l|\Delta V|\phi_l\rangle} = \frac{W}{Z}\]

其中：

这两种形式物理等价，归一化形式在数值上更稳定。

原点保护：在 \(r \to 0\) 时，\(u_l \sim r^{l+1}\)，因此 \(\phi_l = u_l/r \sim r^l\) 有限。使用 np.maximum(r, 1e-10) 保护除法。
积分权重：使用提供的积分权重 \(w\) 计算内积，保证数值精度。
除零检查：计算 \(D_l = W/Z\) 时检查 \(|Z| < 10^{-12}\)，避免分母接近零。