atomppgen.tm

Troullier-Martins (TM) 伪化器

实现 TM 方法生成赝轨道，满足范数守恒和连续性约束。

主要功能

tm_pseudize : 对给定 AE 轨道进行 TM 伪化 TMResult : 存储伪化结果的数据类

参考文献

Troullier & Martins, PRB 43, 1993 (1991)

算法文档

详见 docs/source/algorithm/tm_method.rst

Functions

`eval_derivatives_at`(r, u, x0[, max_order, ...])	在指定点 x0 处计算导数（使用局部三次样条）
`tm_pseudize`(r, w, u_ae, eps, l, rc[, ...])	使用 Troullier-Martins 方法构造伪轨道

Classes

TMResult(u_ps, a_coeff, rc, eps, l, ...)

TM 伪化结果

class atomppgen.tm.TMResult(u_ps, a_coeff, rc, eps, l, norm_error, continuity_orders, continuity_check, solver_info)[源代码]

TM 伪化结果

参数:

u_ps (ndarray)
a_coeff (ndarray)
rc (float)
eps (float)
l (int)
norm_error (float)
continuity_orders (int)
continuity_check (Dict)
solver_info (Dict)

u_ps

伪轨道 u(r)（径向波函数，已拼接内外区）

Type:: np.ndarray

a_coeff

TM 多项式系数 [a_0, a_2, a_4, ...] 内区形式：u = r^{l+1} exp(Σ a_{2i} r^{2i})

Type:: np.ndarray

rc

伪化半径（Bohr）

Type:: float

eps

伪化能量（Hartree）

Type:: float

l

角动量量子数

Type:: int

norm_error

范数守恒相对误差 |Q_PS - Q_AE| / Q_AE

Type:: float

continuity_orders

连续性阶数（匹配到几阶导数，2 或 4）

Type:: int

continuity_check

rc 处的连续性检查结果 {'u': {...}, 'du': {...}, 'd2u': {...}}

Type:: Dict

solver_info

求解器收敛信息 {'ier': int, 'nfev': int, 'mesg': str, 'fallback': bool}

Type:: Dict

u_ps: ndarray

a_coeff: ndarray

rc: float

eps: float

l: int

norm_error: float

continuity_orders: int

continuity_check: Dict

solver_info: Dict

__init__(u_ps, a_coeff, rc, eps, l, norm_error, continuity_orders, continuity_check, solver_info)

参数:

u_ps (ndarray)
a_coeff (ndarray)
rc (float)
eps (float)
l (int)
norm_error (float)
continuity_orders (int)
continuity_check (Dict)
solver_info (Dict)

返回类型:

None

atomppgen.tm.tm_pseudize(r, w, u_ae, eps, l, rc, continuity_orders=2)[源代码]

使用 Troullier-Martins 方法构造伪轨道

在 r ≤ rc 内区，伪轨道形式为：: u(r) = r^{l+1} · exp(Σ_{i=0}^{N} a_{2i} r^{2i})

约束条件： 1. 在 r = rc 处，u 及其导数（到 continuity_orders 阶）与 AE 轨道连续 2. 内区范数守恒：∫_0^{rc} |u|^2 dr = ∫_0^{rc} |u_ae|^2 dr

参数:

r (np.ndarray) -- 径向网格（Bohr）
w (np.ndarray) -- 积分权重
u_ae (np.ndarray) -- 全电子径向波函数 u(r)（已归一化）
eps (float) -- 伪化能量（Hartree）
l (int) -- 角动量量子数
rc (float) -- 伪化半径（Bohr）
continuity_orders (int, optional) -- 导数连续性阶数，默认 2（匹配 u, u', u'' + 范数）可选 4（匹配到 u'''' + 范数）

返回:

包含伪轨道、系数、范数误差等信息

返回类型:

TMResult

抛出:

ValueError -- 如果 rc 不在网格范围内如果 continuity_orders 不是 2 或 4

备注

TM 方法关键点： 1. 系数数量由连续性条件决定：

continuity_orders = 2: 需要 4 个系数 [a_0, a_2, a_4, a_6]

continuity_orders = 4: 需要 6 个系数 [a_0, ..., a_10]

数值稳定性：使用对数形式避免指数溢出
范数守恒通过非线性方程组保证（scipy.optimize.fsolve）
网格推荐：强烈建议使用 exp_transformed 或 log 网格类型。 linear 网格的导数精度不足，可能导致 TM 非线性方程组不收敛。

引用

Troullier & Martins, PRB 43, 1993 (1991), 方程 (14)-(18)