参数选择指南

本指南面向首次使用 AtomPPGen 生成 TM 范数守恒赝势的同学，提供 rc 选择、局域道设置与伪化能量调试的经验。

rc 选型的物理取舍

赝势的"软度"与"可转移性"存在天然张力。较大的截断半径 \(r_c\) 能降低平面波基组的能量截断，从而加速 Quantum ESPRESSO (QE) 等固体程序；但过大的 \(r_c\) 会把真实核区的陡峭势场"抹平"，在化学价态发生改变时出现偏差。调参的核心任务就是围绕以下约束找到平衡：

\[Q_l(r_c) = \int_0^{r_c} |u_l(r)|^2 dr, \quad \Delta_{\text{norm}} = \frac{Q_l^{\text{PS}} - Q_l^{\text{AE}}}{Q_l^{\text{AE}}}\]

软度目标：平面波截断满足 \(E_{\text{cut}} \leq 35\) Ry，金属 Al 的经验上限为 30-35 Ry。
可转移性目标：\(|\Delta_{\text{norm}}| < 10^{-6}\) 且对数导数 RMS 满足金属阈值 \(L_{\text{RMS}}^{\text{valence}} < 16\)。

Al (LDA) 通道经验范围
通道	rc 建议 (Bohr)	设计思路
s	2.0 - 2.2	s 轨道无节点，适合略小的 \(r_c\) 以抑制幽灵态；若 plane-wave 需求过高，再平滑放大 0.1-0.2。
p	2.1 - 2.3	3p 轨道在 \(r \approx 2.1\) Bohr 存在节点，需避开符号翻转点；配合符号保持补丁后，可安全做到 2.3。
d	2.3 - 2.5	d 通道主要用于散射投影，略大的 \(r_c\) 有助于匹配高能量散射相移，且不直接影响价电子束缚态。

默认参数可直接用于 QE 测试：

\(r_c^s = 2.1\)，\(r_c^p = 2.2\)，\(r_c^d = 2.4\) a_0。
局域道选 d：\(V_{\text{loc}} = V_d(r)\)，能减少 s/p 通道的幽灵态风险。
伪化能量：s、p 取全电子束缚本征能 \(\varepsilon_{3s}\)、\(\varepsilon_{3p}\)；d 通道取 \(\varepsilon = +0.1 \sim +0.2\) Ry 的散射能量以增强相移匹配。

局域道的选择会改变 V_loc 在 \(r > r_c\) 的衰减形状：

在生成 KB 投影子时，推荐固定 \(l_{\text{loc}} = 2\)，除非面对高 \(Z\) 元素导致 d 通道太硬，再考虑调换为 p 并重新扫描。

束缚态参考：对占据的束缚态通道（例如 Al 的 3s），可直接使用全电子本征能，既保留节点/相位信息，又确保 TM 方程组与 AE 轨道对齐。
散射参考（近零能量）：对用于散射相移匹配的通道（例如 Al 的 p/d 投影通道），常选取接近 0 的参考态/参考能量（AE 求解结果中通常表现为该通道能量最高的一项），以强调对数导数匹配与可转移性。
伪化能量扫描：当 \(\Delta_{\text{norm}}\) 满足阈值，但对数导数 RMS 超标时，可以在 \(\varepsilon_l\) 附近进行 \(\pm 0.05\) Ry 的微调；若连续调节仍无改善，优先回退到更小的 \(r_c\)。

幽灵态爆发：若 \(r_c^s = 2.1\) 仍出现多个深幽灵态，可尝试：
- 增大 \(r_c^s\) 至 2.3 a_0，或
- 维持 \(r_c^s\) 不变改用 RRKJ 多投影，弱化内区势阱。
对数导数偏移：若金属阈值 16 仍不满足，先检查测试半径 \(r_{\text{test}}\) 是否覆盖所有 \(r_c^l\)，再通过减小 \(r_c^p\) 提升短程相位匹配。
范数守恒失真：确认 TM 多项式求解器的符号约束已启用，并用 ValidationReport.summary() 检查 norm_error。
局域道调换：若 s 通道幽灵态无法通过 rc 调整消除，可把局域道从 d 换成 p，再重新评估 \(r_c^p\) 的范围（通常需减小 0.1-0.2 a_0 以补偿硬化）。