术语与约定

本文档定义ThermoElasticSim中使用的术语、符号约定和单位系统。

小应变线性化前提

本软件采用 小应变线性化 （非保体积）作为全局假设：

\[\mathbf{F} = \mathbf{I} + \boldsymbol{\varepsilon}\]

其中：

\(\mathbf{F}\)：形变梯度张量
\(\mathbf{I}\)：单位张量
\(\boldsymbol{\varepsilon}\)：应变张量（小量）

关键假设：

二阶及更高阶小量被忽略：\(\boldsymbol{\varepsilon}^2 \approx 0\)
体积变化为高阶小量：\(\det(\mathbf{F}) \approx 1 + \text{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\)
应力-应变关系线性化：\(\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\)

单位系统

ThermoElasticSim采用原子单位与实用单位混合系统：

基本单位

物理量	单位	说明
长度	Å	埃（Angstrom）
能量	eV	电子伏特
时间	fs	飞秒
质量	amu	原子质量单位
温度	K	开尔文

导出单位

物理量	内部单位	输出单位
力	eV/Å	同内部单位
速度	Å/fs	同内部单位
应力	eV/Å³	GPa（输出时转换）
弹性常数	eV/Å³	GPa（输出时转换）
压强	eV/Å³	GPa（输出时转换）

单位转换

EV_TO_GPA KB_IN_EV AMU_TO_EVFSA2

Voigt记号约定

弹性常数张量和应力/应变张量采用Voigt记号简化表示。

张量-向量映射

四阶张量 \(C_{ijkl}\) → 6×6矩阵 \(C_{IJ}\)：

\[\begin{split}\begin{array}{c|c} \text{张量指标} & \text{Voigt指标} \\ \hline 11 & 1 \\ 22 & 2 \\ 33 & 3 \\ 23, 32 & 4 \\ 13, 31 & 5 \\ 12, 21 & 6 \end{array}\end{split}\]

工程剪切应变

重要约定：Voigt记号中的剪切应变是工程剪切应变，为张量剪切应变的2倍：

\[\begin{split}\begin{aligned} \varepsilon_1 &= \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_2 &= \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_3 &= \varepsilon_{33} \\ \varepsilon_4 &= 2\varepsilon_{23} = \gamma_{23} \quad \text{（工程剪切）} \\ \varepsilon_5 &= 2\varepsilon_{13} = \gamma_{13} \\ \varepsilon_6 &= 2\varepsilon_{12} = \gamma_{12} \end{aligned}\end{split}\]

立方晶系弹性常数

对于立方晶系（如FCC铝、铜），独立弹性常数仅有3个：

\[\begin{split}\mathbf{C} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{12} & C_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} \end{bmatrix}\end{split}\]

其中：

\(C_{11}\)：纵向弹性常数
\(C_{12}\)：横向耦合常数
\(C_{44}\)：剪切弹性常数

坐标系约定

晶格向量和原子位置

晶格向量按**行向量**存储在3×3矩阵中
第i个晶格向量：lattice_vectors[i, :]
原子位置为笛卡尔坐标（Å）

周期性边界条件（PBC）

最小镜像约定（Minimum Image Convention, MIC）：

def apply_mic(r_ij, cell):
    """应用最小镜像约定"""
    # 转换到分数坐标
    s_ij = np.dot(r_ij, cell.lattice_inv)
    # 映射到[-0.5, 0.5]
    s_ij -= np.floor(s_ij + 0.5)
    # 转回笛卡尔坐标
    return np.dot(s_ij, cell.lattice_vectors.T)

矩阵运算约定

形变施加

形变通过右乘形变矩阵实现：

\[\mathbf{h}' = \mathbf{h} \cdot \mathbf{F}\]

其中：

\(\mathbf{h}\)：原始晶格向量矩阵（3×3）
\(\mathbf{F}\)：形变梯度张量（3×3）
\(\mathbf{h}'\)：形变后晶格向量矩阵

应力计算

应力张量定义为：

\[\sigma_{ij} = -\frac{1}{V} \frac{\partial E}{\partial \varepsilon_{ij}}\]

计算方法：

Virial方法：通过原子力和位置计算
有限差分：通过能量对应变的数值导数

数据结构约定

Cell对象

Cell

cell.lattice_vectors  # 3×3矩阵，行向量
cell.atoms            # 原子列表
cell.volume           # 晶胞体积（Å³）
cell.num_atoms        # 原子数

Atom对象

Atom

atom.position         # 3D向量（Å）
atom.velocity         # 3D向量（Å/fs）
atom.force           # 3D向量（eV/Å）
atom.mass_amu            # 质量（amu）
atom.symbol          # 元素符号（如'Al'）

文献引用约定

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引用格式：:cite:`key`
文献库：references.bib
章末集中显示引用列表