势函数拓展

本章介绍 ThermoElasticSim 已有与计划支持的势函数类型。

Tersoff势（已实现 Carbon 1988 [Tersoff, 1988]）

\[V = \frac{1}{2}\sum_{i\ne j} f_C(r_{ij})\,\big[f_R(r_{ij}) + b_{ij}\,f_A(r_{ij})\big]\]

其中本实现采用如下记号（与代码一致）：

\(f_R(r) = A\,e^{-\lambda_1 r}\) （排斥）
\(f_A(r) = -B\,e^{-\lambda_2 r}\) （吸引，注意负号在函数里）
\(f_C(r)\) 为平滑截断函数：

\[\begin{split}f_C(r)=\begin{cases} 1,& r<R-D\\ 0.5\bigl(1-\sin[\tfrac{\pi}{2}\tfrac{(r-R)}{D}]\bigr),& |r-R|\le D\\ 0,& r>R+D \end{cases}\end{split}\]
键序项 \(b_{ij}\) 与局部配位相关：

\[b_{ij}(\zeta)=\bigl(1+ (\beta^n)\,\zeta^n\bigr)^{-\tfrac{1}{2n}},\qquad \zeta_{ij}=\sum_{k\ne i,j} f_C(r_{ik})\,g(\cos\theta_{ijk})\,\exp\bigl[\lambda_3^{m}(r_{ij}-r_{ik})^{m}\bigr]\]

其中角函数：

\[g(c)=1+\frac{c^2}{d^2}-\frac{c^2}{d^2+(h-c)^2}\]

本实现支持 \(m=3\) 的常见情形；C(1988) 参数通常 \(\lambda_3=0\)。

应力定义为张拉为正：

\[\sigma = -\frac{1}{V}\sum r\otimes F\,.\]

本实现将维里分解为以下可累计项：

两体斥力对：\(\;\Delta W_{2,\mathrm{rep}} = (r_j-r_i)\otimes F_{ij}\)
键序配对项（由 \(b_{ij}\) 产生的配对力）：

\(\;\Delta W_{2,\mathrm{zeta}} = -\,(r_j-r_i)\otimes F^{(\mathrm{pair})}_{ij}\)

（注意负号）
三体吸引项：\(\;\Delta W_{3} = (r_j-r_i)\otimes F_j + (r_k-r_i)\otimes F_k\)

最终 \(\sigma\) 由 \(W\) 取负并除体积得到。该记账方式与主流实现一致，数值上对称收敛良好。

SW势专为硅的四面体结构设计，显式包含三体项：

\[V = \sum_{i<j} v_2(r_{ij}) + \sum_{i,j<k} v_3(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik})\]

三体项稳定109.47°的四面体角：

\[v_3 = \lambda \exp\left[\frac{\gamma}{r_{ij}-a} + \frac{\gamma}{r_{ik}-a}\right] (\cos\theta_{jik} + 1/3)^2\]

机器学习势函数是当前材料模拟的前沿方向，结合了DFT精度和经典势效率。

神经网络势（NNP）

高斯近似势（GAP）

图神经网络势（GNN）

矩张量势（MTP）

未来集成机器学习势的技术路线：

势函数拓展的优先级（仅供参考）：

欢迎社区贡献新势函数实现。基本要求：